2 granice funkcji

[Mariunio]

mam do obliczenia dwie granice:

1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{e^{-x}-e^{x}}{2x}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\frac{x+ln x}{2\sqrt{x}}}\)

[Rogal]

Jeśli możesz korzystać z de l'Hospitala, to nie widzę tutaj żadnego problemu, a ponieważ jestem naturą dość podejrzliwą, to raczej nie możesz z niego korzystać, więc trzeba pokombinować nieco... ; )
A niestety aktualnie nie mam pomysłu wielkiego, szczególnie na drugie.

[Lorek]

A 2 akurat jest proste
\(\displaystyle{ \frac{x+\ln x}{2\sqrt{x}}>\frac{x}{2\sqrt{x}}}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x}{2\sqrt{x}}=\infty}\) to i \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x+\ln x}{2\sqrt{x}}=\infty}\)
a co do 1 to wystarczy skorzystać z
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1}\)

[Sir George]

Ad.1.

Jeśli możesz korzystać z de l'Hospitala, to nie widzę tutaj żadnego problemu, a ponieważ jestem naturą dość podejrzliwą, to raczej nie możesz z niego korzystać, więc trzeba pokombinować nieco... ; )

I masz rację Rogal. Korzystając z reguły de l'Hospitala liczy się m.in. pochodną wyrażenia w liczniku, czyli wymagana jest znajomość pochodnej funkcji eksponecjalnej (w 0), czyli znajomość granicy \(\displaystyle{ \lim\limits_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}}\), co wygląda bardzo podobnie do pierwotnego wyrażenia. Nota bene jest to również granica ilorazów różnicowych funkcji \(\displaystyle{ f(x)=e^x}\), a mianowicie \(\displaystyle{ \frac{e^z-e^{-x}}{2x}=\frac{f(0+x)-f(0-x)}{0+x-(0-x)}}\).
Zatem, jak widać, aby skorzystać z pochodnych, musimy znać a priori wartość granicy, którą liczymy...

[Rogal]

Hehe, intuicja to ważna część szkolenia matematycznego jednak : P
Za łatwe by to pierwsze było, a ów wzór z granicą się mi kołatał po głowie, lecz przez Live Earth byłem nieco rozkojarzony, bo drugie też prymitywnie idzie z trzech funkcji...
W każdym razie dobrze, że się nie ośmieszyłem ; )

[Mariunio]

dzieki

[ Dodano: 27 Września 2007, 19:12 ]
sdgdsgfd dgfd