więcej pierwiastków dodatnich niż ujemnych

[setch]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=(x-a)^2 [a(x-a)^2-a-1]}\). Wyznacz zbiór wszystkich wartości a, dla których równanie f(x)= -1 ma więcej pierwiastków dodatnich niż ujemnych.

\(\displaystyle{ (x-a)^2 [a(x-a)^2-a-1]=-1\\
t=(x-a)^2 t\geq 0\\
t(at-a-1)=-1\\
at^2-at-t+1=0\\
at^2-(a+1)t+1=0}\)
Jakie będą założenia i dlaczego?

[palazi]

Przede wszystkim to trze4ba jakoś sensnie przekształcić:
\(\displaystyle{ f(x) + 1 = (x - a - 1)(x-a+1)(ax^2 - 2xa^2 + a^3 -1)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \Delta = 4a}\)
I teraz warunki:
\(\displaystyle{ a+1 >0}\) i \(\displaystyle{ a-1 >0}\) i \(\displaystyle{ \Delta 0}\) i \(\displaystyle{ a-1 >0}\) i \(\displaystyle{ \Delta >=0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}x_{2} > 0}\) i\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} 0}\) i \(\displaystyle{ a-1 >0}\) i \(\displaystyle{ \Delta >=0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}x_{2} < 0}\) lub
\(\displaystyle{ a+1>0}\) i \(\displaystyle{ a-1 =0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}>0}\) i \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} >0}\)
I ostatni przypadek należałoby sprawdzić co dzieje się dla \(\displaystyle{ a = 0}\) (jeżeli chodzi o te równanie kwadratowe w nawiasie, co prawda nic to nie daje ale sprawdzić niestety trzeba)

[mat1989]

tak znalazłem to zadanie przypadkowo i mam małą wątpliwość co do 2 przypadku. wydaje mi się, że wtedy będziemy mieli 2 dodatnie i 2 ujemne?

[Tomas_91]

Mam pytanie do tego zapisu: \(\displaystyle{ f(x) + 1 =}\) no i tutaj dodajemy do pierwszego nawiasu 1 a do drugiego nie, czemu? Jaka jest zasada...

I drugie pytanie, jeśli dodamy jedynkę do tej funkcji to nie przesuną nam się miejsca zerowe funkcji (nie zmieni się końcowe rozwiązanie) ??