Udowodnij twierdzenie

[pelas_91]

Korzystając z indukcji matematycznej udowodnij prawdziwość następującego twierdzenia:

Obszary powstałe przez pocięcie płaszczyzny prostymi mogą być pokolorowane dwoma kolorami tak, że sąsiednie obszary mają różne kolory.

[grangu]

Proponuje zacząć od:

[micholak]

Dla 1 linii oczywiste
(kolory to niech beda czerwony i niebieski dla ustalenia uwagi)

Zalozmy ze zachodzi dla k lub mniej linii
Wezmy obszar pociety k+1 liniami
Jesli wyjmniemy jakas linie to obszar bedzie pociety k liniami czyli da sie go pokolorowac tak aby kolory nie sasiadowaly.
Teraz dodajemy ta odjeta linie, (tak zeby lezala tam gdzie lezala ) i po jej jednej stronie zostawiamy takie pokolorowanie jak bylo a po drugiej zmieniamy kolory czerwony na niebieski, niebieski na czerwony. Latwo zobaczyc ze niebieski nie sasiaduje z niebieskim a czerwony z czerwonym. Czyli dowiedzione.

[Nixur]

Roapatrzmy to w 2 przypadkach
1.a)Na danej płaszczyżnie narysój 2 proste równoległe i udowodnij że dla nich twierdzenie jest prawdziwe (przez rysónek)
b) poprować 3 prostą równoległą i pokoloruj (to wystarczający dowód na to że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby równoległych prostych)
c) poprowadz prostą przecinającą równoległe do siebie proste i pokoloój, jest to oczywiście dowód na wszystkie takie przypadki gdyż są identyczne(tylko kąty inne). Również oczywiste jest że obszary sąsiednie o tym samym kolorze stykają się że sobą w punkcje przecięcia się ze sobą prostych.
d) dla pozostałych przeprowadzonych przez ciebie prostych sytuacja jest tożsamościowa z punktem b w 2 przypadku
2. a)Na danej płaszczyżnie narysój 2 proste nierównoległe i udowodnij że dla nich twierdzenie jest prawdziwe (przez rysónek)
b)Przetnij te dwie nierównoległe proste 3 prostą. Udowodnij przez rysunek dla tego przypadu. I taka sama sytuacja jest dla dowolnej ilości innych prostych przecinających od tąd zawsze w sposób opisany w 1 przypadku podpunkt c) lub ten sposób opisany na początku tego podpunktu (zawsze powstają trujkąty i je rozpatruj-sytuacja jest zawsze identyczna, oprócz tego z drugiej strony mogą(nie muszą) powstawać rozmaite wielokąty, ale to w niczym nie przeszkadza).

To bardzo nie typowy dowód, ale typowe dowody dotyczą liczb i to naturalnych. Myślę, że zrobiłem to dobrze, ale nie jestem pewien.

[micholak]

Uwagi:

1. Konstrukcja jest od dolu. A wowczas na dowodzacym ciazy jeszcze jeden obowiazek. Pokazac ze kazdy zestaw linni da sie skonstruowac w ten sposob. Tutaj moze sie czepiam bo jest raczej oczywiste, ale zwykle jak sie kaze dowodzic takich oczywistosci to sie robi niezly zamet .
2. Znacznie powazniejsza. Trzeba pokazac ze przypadek z trzema liniami wyczerpuje wszystkie. To jest wysoce nieoczywiste, bo potem robi sie balagan z wieloma liniami, a na pokolorowanie jednego obszaru maja wplyw i inne, to ze da sie pokolorowac jakis kawalek jeszce nie swiadczy ze da sie wszystko. Pokazac ze tak jest to znow obowiazek dowodzacego.

[pelas_91]

Wezmy obszar pociety k+1 liniami

Na zielono linia którą wyjmę.

Jesli wyjmniemy jakas linie to obszar bedzie pociety k liniami czyli da sie go pokolorowac tak aby kolory nie sasiadowaly.

I teraz nie jest dobrze pokolorowane. Mam kilka obszarów niebiesko-czerwonych.

Chyba coś źle zrozumiałem. Tylko co?

[Elvis]

Obszar pocięty k+1 liniami nie jest na początku pomalowany (bo nie możemy założyć, że jest to możliwe). Malujemy go później, po usunięciu jednej linii.