Zależność między parametrami

[basia]

Muszę obliczyć zależność pomiędzy parametrami \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) aby pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^2 +px+q=0}\) były sinusem i cosinusem tego samego kąta. Pomoże mi ktoś?

[Rogal]

Z wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2} = -p; x_{1}x_{2} = q}\)

Jeżeli x1 i x2 mają być sinusem i cosinusem tego samego kąta, to muszą spełniać jedynkę trygonometryczną:
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1}\)
Możemy zwinąć to do wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 1}\)
I korzystając z wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ (-p)^{2}-2q = 1}\)
\(\displaystyle{ p^{2} - 2q = 1}\)
I teraz wystarczy tylko podać p według q, bądź odwrotnie i zależność gotowa.

[basia]

dziękuję serdecznie

[Tomasz Rużycki]

Rogal: Zapomniałeś o warunku, który musi być spełniony, by takowe pierwiastki istniały: \(\displaystyle{ \Delta\geq 0}\)

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Rogal]

Ups, faktycznie, ale to dlatego, że ostatnim czasem siedzę w zespolonych i mi to umyka.
Już się poprawiam:

\(\displaystyle{ \Delta \geq 0 \Leftrightarrow p^{2}-4q \geq 0}\)
Czyli teraz:

\(\displaystyle{ q = \frac{p^{2}-1}{2}}\)
A jednocześnie:
\(\displaystyle{ q \leq \frac{p^{2}}{4}}\)

Trzeba tylko część wspólną...