Dla jakiego x wyrazy ciągu są ciągiem arytmetycznym?

[fliper]

Dla jakiej wartości x liczby \(\displaystyle{ \log_3(2^x+1), \, \log_3(2^{x-1} - 1), \, 0}\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego? Dla wyznaczonej wartości x oblicz ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, aby ich suma wynosiła ?75.

[Zlodiej]

Własność ciągu arytmetycznego:

\(\displaystyle{ a_1+a_3=2a_2}\)

Czyli mamy równość:

\(\displaystyle{ \log_{3} \left( 2^x+1 \right) +0=2\log_{3} \left( 2^{x-1}-1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \log_{3} \left( 2^x+1 \right) +0=\log_{3} \left( 2^{x-1}-1 \right) ^2}\)

Idąc dalej:

\(\displaystyle{ 2^{x}+1=2^{2x-2}-2^x+1}\)

Podstawiajac zmienną \(\displaystyle{ t=2^x}\)

Otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ t^2-8t=0}\)

Dalej nie powinno być problemów.

[Mrrudzin]

Dalej dochodzimy do wniosku że t=0 (sprzeczność) lub t=8. Stąd wyznaczamy że x=3.
Podstawiając za X do wyrazów otrzymujemy ciąg 2,1,0.

Dalsza część zadania - sprowadza się do rozwiązania równania na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.
Dochodzimy do tego że
\(\displaystyle{ 75 = \frac{[(2a_{1}+(n-1)\cdot r]\cdot n}{2}}\)
Stąd dochodzimy do równania kwadratowego
\(\displaystyle{ n^2+3\cdot n -150 = 0}\)
które nie ma rozwiązań.
Co jest logiczne - bo ciąg zaczyna się od 2 i jest malejący.

[asia3633]

Moim zdaniem równanie kwadratowe będzie miało postać:
n^2-5n-150=0
Wyjdzie z tego,że trzebadodać15 wyrazów ciągu,aby ich suma wynosiła-75