Całkowanie różniczki dwumiennej
(bez dowodu)
Słowem wstępu - Definicja:(bez dowodu)
Różniczką dwumienną nazywamy wyrażenie postaci:
\(\displaystyle{ x^{m}\left(a+bx^{n}\right)^{p}\mbox{d}x,}\)
gdzie:- \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) są liczbami rzeczywistymi, różnymi od \(\displaystyle{ 0}\),
- \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ p}\) są liczbami wymiernymi.
Jak głosi twierdzenie Czebyszewa, całka \(\displaystyle{ \int x^{m}\left(a+bx^{n}\right)^{p}\mbox{d}x}\) wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z następujących przypadków:
- \(\displaystyle{ p\in\mathbb{Z}}\)
- \(\displaystyle{ \frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}}\)
- \(\displaystyle{ \frac{m+1}{n}+p\in\mathbb{Z}}\)
- jeśli \(\displaystyle{ p\in\mathbb{Z}}\), to przypadek nie wymaga jakiegoś szczególnego podstawienia, można jednak czasem zastosować \(\displaystyle{ t=\sqrt[\lambda]{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników liczb \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\),
- jeśli \(\displaystyle{ \frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}}\), to wstawia się \(\displaystyle{ t=\sqrt[\gamma]{a+bx^{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) jest mianownikiem \(\displaystyle{ p}\),
- jeśli \(\displaystyle{ \frac{m+1}{n}+p\in\mathbb{Z}}\), to wstawia się \(\displaystyle{ t=\sqrt[\beta]{\frac{a+bx^{n}}{x^{n}}}}\), gdzie \(\displaystyle{ \beta}\) jest mianownikiem \(\displaystyle{ p}\).
- Obliczyć
\(\displaystyle{ I=\int \sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)\mbox{d}x}\).
Rozwiązanie:
Ponieważ \(\displaystyle{ \int \sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)\mbox{d}x=\int x^{\frac{1}{2}}\left(1+x^{\frac{1}{2}}\right)^{1}\mbox{d}x}\), stąd:
\(\displaystyle{ m=\frac{1}{2}, \\ n=\frac{1}{2}, \\ p=1.}\)
Spełniony jest pierwszy warunek (drugi też, ale tu pomińmy go), ponieważ \(\displaystyle{ p=1\in\mathbb{Z}}\). Można oczywiście wymnożyć przez nawias i standardowo, bezpośrednio całkować. Posłużmy się mimo to zdobytą z niniejszego tematu wiedzą ( ) i wstawmy \(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\), stąd \(\displaystyle{ x=t^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \mbox{d}x=2t\mbox{d}t.}\)
\(\displaystyle{ I=\int t(1+t)2t\mbox{d}t=\frac{2}{3}t^{3}+\frac{t^{4}}{2}+C=\frac{2}{3}(\sqrt{x})^{3}+\frac{x^{2}}{2}+C}\) - Obliczyć \(\displaystyle{ I=\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\mbox{d}x}\).
Rozwiązanie:
Widać, że \(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\mbox{d}x=\int x^{-\frac{1}{2}}\left(1+x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}\mbox{d}x}\), stąd:
\(\displaystyle{ m=-\frac{1}{2}, \\ n=\frac{1}{4}, \\ p=\frac{1}{3}.}\)
Spełniony jest drugi warunek, ponieważ \(\displaystyle{ \frac{m+1}{n}=\frac{-\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{4}}=2\in\mathbb{Z}}\). Wstawiamy \(\displaystyle{ t=\left(1+x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}.}\) Rugując \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x=\left(t^{3}-1\right)^{4}}\), stąd \(\displaystyle{ \mbox{d}x=12t^{2}\left(t^{3}-1\right)^{3}\mbox{d}t.}\) Jedziemy dalej:
\(\displaystyle{ I=\int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{\left(t^{3}-1\right)^{4}}}}{\sqrt{\left(t^{3}-1\right)^{4}}}12t^{2}\left(t^{3}-1\right)^{3}\mbox{d}t=\int 12t^{3}\left(t^{3}-1\right)\mbox{d}t=\frac{12}{7}t^{7}-3t^{4}+C.}\)
Ostatecznie po powrocie do starej zmiennej: \(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\mbox{d}x=\frac{12}{7}\left(\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}\right)^{7}-3\left(\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}\right)^{4}+C.}\) - Obliczyć \(\displaystyle{ I=\int\frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}\mbox{d}x}\).
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ I=\int\frac{1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}\mbox{d}x=\int x^{0}\left(1+x^{4}\right)^{-\frac{1}{4}}\mbox{d}x,}\) stąd:
\(\displaystyle{ m=0, \\ n=4, \\ p=-\frac{1}{4}.}\)
Spełniony jest zatem warunek trzeci, ponieważ \(\displaystyle{ \frac{m+1}{n}+p=\frac{0+1}{4}-\frac{1}{4}=0\in\mathbb{Z}.}\) Wstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt[4]{1+x^{4}}}{x}}\), \(\displaystyle{ x=(t^{4}-1)^{-\frac{1}{4}}}\), \(\displaystyle{ \mbox{d}x=-t^{3}(t^{4}-1)^{-\frac{5}{4}}\mbox{d}t.}\) Całka przybiera postać:
\(\displaystyle{ I=-\int \frac{t^{3}(t^{4}-1)^{-\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{\frac{t^{4}}{t^{4}-1}}}\mbox{d}t=-\int t^{2}(t^{4}-1)^{-1}\mbox{d}t=-\int \frac{t^{2}}{t^{4}-1}\mbox{d}t,}\)
a to jest już zwykła całka funkcji wymiernej.