Wykaz ze liczba jest niewymierna

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Roni17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 15 lis 2006, o 18:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pszczyna
Podziękował: 8 razy

Wykaz ze liczba jest niewymierna

Post autor: Roni17 »

Wykaz ze liczba jest niewymierna
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}}\)
Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Wykaz ze liczba jest niewymierna

Post autor: Plant »

\(\displaystyle{ x_0=\sqrt[3]{5}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3-5=0}\).
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, mamy:
\(\displaystyle{ x_0 \mathbb{W} x_0\in\{1,-1,5,-5\}}\)
A oczywiście żadna z tych liczb nie równa się x0.
Awatar użytkownika
PFloyd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

Wykaz ze liczba jest niewymierna

Post autor: PFloyd »

to ja może zaprezentuję inny dowód:

jeżeli \(\displaystyle{ 5^{\frac{1}{3}}}\) jest liczbą wymierną, to muszą istnieć takie względnie pierwsze p i q, że zachodzi:
\(\displaystyle{ 5q^3=p^3}\)

ponieważ p i q są względnie pierwsze to liczby \(\displaystyle{ p^3}\) i \(\displaystyle{ q^2}\) też są względnie pierwsze.

Mamy:
\(\displaystyle{ 5q=\frac{p^3}{q^2}}\)
ponieważ 5q jest liczba całkowitą, to q musi być równe 1. Wtedy jednak liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}}\) musi być liczbą całkowitą, a to jest nieprawdą, gdyż \(\displaystyle{ 1}\)
ODPOWIEDZ