Wykaz ze liczba jest niewymierna
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}}\)
Wykaz ze liczba jest niewymierna
- Plant
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
- Pomógł: 70 razy
Wykaz ze liczba jest niewymierna
\(\displaystyle{ x_0=\sqrt[3]{5}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3-5=0}\).
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, mamy:
\(\displaystyle{ x_0 \mathbb{W} x_0\in\{1,-1,5,-5\}}\)
A oczywiście żadna z tych liczb nie równa się x0.
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, mamy:
\(\displaystyle{ x_0 \mathbb{W} x_0\in\{1,-1,5,-5\}}\)
A oczywiście żadna z tych liczb nie równa się x0.
- PFloyd
- Użytkownik
- Posty: 620
- Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kęty
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 122 razy
Wykaz ze liczba jest niewymierna
to ja może zaprezentuję inny dowód:
jeżeli \(\displaystyle{ 5^{\frac{1}{3}}}\) jest liczbą wymierną, to muszą istnieć takie względnie pierwsze p i q, że zachodzi:
\(\displaystyle{ 5q^3=p^3}\)
ponieważ p i q są względnie pierwsze to liczby \(\displaystyle{ p^3}\) i \(\displaystyle{ q^2}\) też są względnie pierwsze.
Mamy:
\(\displaystyle{ 5q=\frac{p^3}{q^2}}\)
ponieważ 5q jest liczba całkowitą, to q musi być równe 1. Wtedy jednak liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}}\) musi być liczbą całkowitą, a to jest nieprawdą, gdyż \(\displaystyle{ 1}\)
jeżeli \(\displaystyle{ 5^{\frac{1}{3}}}\) jest liczbą wymierną, to muszą istnieć takie względnie pierwsze p i q, że zachodzi:
\(\displaystyle{ 5q^3=p^3}\)
ponieważ p i q są względnie pierwsze to liczby \(\displaystyle{ p^3}\) i \(\displaystyle{ q^2}\) też są względnie pierwsze.
Mamy:
\(\displaystyle{ 5q=\frac{p^3}{q^2}}\)
ponieważ 5q jest liczba całkowitą, to q musi być równe 1. Wtedy jednak liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}}\) musi być liczbą całkowitą, a to jest nieprawdą, gdyż \(\displaystyle{ 1}\)