Wyraź w zależności od a=\log_{2}3 podane logarytmy

[Fijy]

Niech \(\displaystyle{ a=\log_{2}3}\). Wyraź, w zaleznosci od a:

a) \(\displaystyle{ \log_{2}9}\)

b) \(\displaystyle{ \log_{\sqrt{2}}3}\)

Z góry dziękuję za jakieś podpowiedzi.

pozdrawiam

[Yavien]

\(\displaystyle{ \log_{a}b^2=2\log_{a}b}\)

To do pierwszego, z miejsca.

W drugim z definicji logarytmu:

\(\displaystyle{ a=\log_{2}3\,\Longleftrightarrow\,2^a=3}\)

\(\displaystyle{ b=\log_{\sqrt{2}}3\,\Longleftrightarrow\,\sqrt{2}^b=3}\)

a przecież \(\displaystyle{ 2=\sqrt{2}^2}\)

[Mrrudzin]

czyli ostatecznie odpowiedzi
a) 1/2 a
b) 2 a

Osobiście napisałbym troche inaczej (oczywiście wychodzi tak samo)
Mamy wyrazić za pomocą jednej liczby drugą. Więc liczba(1)*współczynnik = liczba(2).
W tym przypadku współczynnikiem jest X:


\(\displaystyle{ x \cdot \log_{2}3=\log_{\sqrt{2}}3}\)

korzystając z własności logarytmu

\(\displaystyle{ x \cdot \frac{\log(3)}{\log(2)}= \frac{\log(3)}{\log(\sqrt{2})}}\)

wszystko możemy podzielić przez \(\displaystyle{ \log(3)}\) oraz odwrócić
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\cdot \log(2)=\log(\sqrt{2})}\)

Z wykorzystanej w pierwszym poście właściwości

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\cdot \log(2)=\log \left( 2^\frac{1}{2} \right) \\
\frac{1}{x}\cdot \log(2)=\frac{1}{2}\cdot \log(2)}\)

dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \log(2)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=\frac{1}{2}}\)
stąd x=2

[Moryc]

Moze odswierze skostnialy temat ale tutaj jest blad i po prostu musze

dla pierwszego przykladu wychodzi
\(\displaystyle{ \log_29 = \log_23^2 = 2\log_2 3 = 2a}\)