(4 zadania) Udowodnij prawdziwość wzorów

[qkiz]

Zadanie 1
Wykaż, że przy odpowiednich założeniach odnośnie liczb a, b prawdziwe sa wzory:

a) \(\displaystyle{ \log_ab=\frac{1}{\log_ba}}\)

b) \(\displaystyle{ \log_ab=\log_{a_2}b^2}\)

c) \(\displaystyle{ \log_{a^2}b=\frac{1}{2}\log_ab}\)

d) \(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{a}}b=\log_a\frac{1}{b}}\)

Sformułuj założenia.

Zadanie 2
Dla jakich a, b prawdziwe są wzory:

a) \(\displaystyle{ \log_2(a+b)=\log_2a+\log_2b}\)

b) \(\displaystyle{ \log_2(a-b)=\log_2a-\log_2b}\)

Zadanie 3
Mając dane: \(\displaystyle{ \log_{12}2=a}\), oblicz \(\displaystyle{ \log_616}\).

Zadanie 4
Jaka funkcja ma wykres symetryczny do wykresu funkcji: \(\displaystyle{ y=\log_2x}\) względem:

a) osi x

b) osi y

c) prostej zawierającej dwusieczną kąta xOy

d) początku układu współrzędnych

[olazola]

W zadaniu 1) korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy log a rytmów:

a) \(\displaystyle{ \log _ {a}b=\frac{ \log _ {b}b}{ \log _ {b}a}=\frac{1}{ \log _ {b}a}}\)

b) \(\displaystyle{ \log _ {a}b=\frac{ \log _ {a^2}b}{ \log _ {a^2}a}=\frac{ \log _ {a^2}b}{\frac{1}{2}}=2 \log _ {a^2}b= \log _ {a^2}b^2}\)

Reszta tak samo.

Zadanie 2

Tu też analogiczne przykłady:

\(\displaystyle{ \log _ {2}(a+b)= \log _ {2}(ab)\\ab=a+b\\a=\frac{b}{b-1}}\)

Oczywiście jeszcze założenia: \(\displaystyle{ a,b>0}\), \(\displaystyle{ b \neq 1}\)

Na razie tyle!