Jest to zadanie nr. 127 z "Matura z matematyki" - A. Kiełbasa.
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x + y)^{x - y}=\frac{1}{64} \\ (x + y) \cdot 2^{y - x}= 32 \end{cases}}\)
Jak je zrobić? Doszedłem tylko do zależności takiej: \(\displaystyle{ (5 - y + x)(x - y) = -6}\), ale nie jest to rozwiązanie.
Rozwiąż układ równań logarytmicznych
Rozwiąż układ równań logarytmicznych
Podstawiam:
a=x+y;
b=x-y;
Otrzymuję postać:
\(\displaystyle{ a^b=\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ a\cdot 2^{-b}=32}\)
\(\displaystyle{ a^b=2^{-6}}\) (1)
\(\displaystyle{ a=2^{5+b}}\) (2)
Podstawiam (2) do (1)
\(\displaystyle{ (2^{5+b})^b=2^{-6}}\)
Korzystam z różnowartościowości funkcji wykładniczej:
\(\displaystyle{ b^2+5b+6=0}\)
\(\displaystyle{ (b+2)(b+3)=0}\)
Dwa rozwiązania b=-3 lub b=-2.
Dla b=-3:
Korzystam z (1)
\(\displaystyle{ a^{-3}=2^{-6}}\)
a=4;
Analogicznie dla b=-2.
a=8;
Wwracam do oznaczeń z zadania:
\(\displaystyle{ \{\begin{array} x+y=4 \\ x-y=-3 \end{array}\: \: \{\begin{array} x+y=8 \\ x-y=-2 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \{\begin{array} x=\frac{1}{2} \\ x=3 \end{array}\: \: \{\begin{array} y=\frac{7}{2} \\ y=5 \end{array}}\)
Jeśli zrobiłem gdzieś błąd to przepraszam ale jestem już zmęczony. Mam nadzieję że się przyda. Pozdrawiam.
a=x+y;
b=x-y;
Otrzymuję postać:
\(\displaystyle{ a^b=\frac{1}{64}}\)
\(\displaystyle{ a\cdot 2^{-b}=32}\)
\(\displaystyle{ a^b=2^{-6}}\) (1)
\(\displaystyle{ a=2^{5+b}}\) (2)
Podstawiam (2) do (1)
\(\displaystyle{ (2^{5+b})^b=2^{-6}}\)
Korzystam z różnowartościowości funkcji wykładniczej:
\(\displaystyle{ b^2+5b+6=0}\)
\(\displaystyle{ (b+2)(b+3)=0}\)
Dwa rozwiązania b=-3 lub b=-2.
Dla b=-3:
Korzystam z (1)
\(\displaystyle{ a^{-3}=2^{-6}}\)
a=4;
Analogicznie dla b=-2.
a=8;
Wwracam do oznaczeń z zadania:
\(\displaystyle{ \{\begin{array} x+y=4 \\ x-y=-3 \end{array}\: \: \{\begin{array} x+y=8 \\ x-y=-2 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \{\begin{array} x=\frac{1}{2} \\ x=3 \end{array}\: \: \{\begin{array} y=\frac{7}{2} \\ y=5 \end{array}}\)
Jeśli zrobiłem gdzieś błąd to przepraszam ale jestem już zmęczony. Mam nadzieję że się przyda. Pozdrawiam.