liczba podzielna przez 30

grzesik_88 · Post autor: **grzesik_88** » 12 lut 2007, o 15:04

udowodnij, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ n}\) naturalnej, liczba \(\displaystyle{ n^5-n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 30}\)...

tylko powoli i lopatologicznie

kolanko · Post autor: **kolanko** » 12 lut 2007, o 15:09

LATEX !!!

\(\displaystyle{ n^{5}-n=(n-1)n(n+1)(n^{2}+1)}\)

pomysl troszeczke

grzesik_88 · Post autor: **grzesik_88** » 12 lut 2007, o 15:12

to to ja wiem... nawet mam ze sie dzieli przez 2 i 3 tylko jak udowodnic ze to jest podzielne przez 5 ??

luka52 · Post autor: **luka52** » 12 lut 2007, o 15:27

\(\displaystyle{ n^5-n=5s\\
(n+1)^5-(n+1) = n^5 + 5n^4 +10n^3 + 10n^2 +5n +1 -n - 1 = \\
n^5 + 5n^4 +10n^3 + 10n^2 +4n = n^5 - n + 5n^4 +10n^3 + 10n^2 +5n = \\
5s + 5(n^4 +2n^3 + 2n^2 +n) = 5p}\)
Wystarczy odpowiednio ubrać w słowa

grzesik_88 · Post autor: **grzesik_88** » 12 lut 2007, o 15:35

wielkie dzieki

wlasnie nie wiedzialem co z ta 4 na koncu zrobic :/

// mysl mysl mysl //

luka52 · Post autor: **luka52** » 12 lut 2007, o 15:37

grzesik_88 pisze:udowodnij ze dla kazdej liczby n Naturalnej,

Powinno być dla naturalnych ale \(\displaystyle{ n q 2}\)!

max · Post autor: **max** » 12 lut 2007, o 16:12

luka52 pisze:
grzesik_88 pisze:udowodnij ze dla kazdej liczby n Naturalnej,
Powinno być dla naturalnych ale \(\displaystyle{ n q 2}\)!

A czemuż to
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ n^{5} - n = 1 - 1 = 0}\)
A jak wiemy każda liczba naturalna jest dzielnikiem zera.

luka52 · Post autor: **luka52** » 12 lut 2007, o 16:16

max, ok, masz rację.

woznyadam · Post autor: **woznyadam** » 19 paź 2008, o 16:02

a mozna byloby prosic o jakis prostszy zapis? bo niestety za bardzo tego nie rozumiem

biolga · Post autor: **biolga** » 11 wrz 2009, o 20:34

luka52 pisze:\(\displaystyle{ n^5-n=5s\\
(n+1)^5-(n+1) = n^5 + 5n^4 +10n^3 + 10n^2 +5n +1 -n - 1 = \\
n^5 + 5n^4 +10n^3 + 10n^2 +4n = n^5 - n + 5n^4 +10n^3 + 10n^2 +5n = \\
5s + 5(n^4 +2n^3 + 2n^2 +n) = 5p}\)

Co oznacza to 5s i 5p?

czeslaw · Post autor: **czeslaw** » 11 wrz 2009, o 20:37

\(\displaystyle{ s}\) oraz \(\displaystyle{ p}\) są dowolnymi liczbami całkowitymi.

smigol · Post autor: **smigol** » 11 wrz 2009, o 20:38

To, że liczba
\(\displaystyle{ n^5-n=5s}\)
oznacza, że liczba ta jest podzielna przez 5 dla każdego n naturalnego ( założenie indukcyjne).

a to, że 5(n^4+2n^3+2n^2+n)=5p
to tylko i wyłącznie to, że przyjęto \(\displaystyle{ n^4+2n^3+2n^2+n=p}\). aby wyraźnie podkreślić to, że to wyrażenie dzieli się przez 5.

biolga · Post autor: **biolga** » 11 wrz 2009, o 20:47

Dziękuję Wam bardzo

Gacuteek · Post autor: **Gacuteek** » 15 wrz 2009, o 16:03

Można też tak(chyba łatwiejsze do zrozumienia):
\(\displaystyle{ n^{5}-n=n(n^{4}-1)=n(n^{2}-1)(n^{2}+1)=(n-1)n(n+1)(n^{2}-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) \Rightarrow 30|n^{5}-n}\)

\(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\) - pięć kolejnych liczb , wśród nich liczba podzielna przez "5" "3" i "2"

\(\displaystyle{ 5(n-1)n(n+1)}\)- trzy kolejne liczby, wśród nich liczba podzielna przez "3" i "2"
reszta chyba wiadoma;)

Pozdrawiam;)

biolga · Post autor: **biolga** » 15 wrz 2009, o 17:38

Dzięki, Gacuteek Twój sposób jest baaardzo zrozumiały