Jak wyprowadzić wzór na sumę tego ciągu:
\(\displaystyle{ 1*2+2*3+3*4+4*5+...+ n(n+1)=?}\)
Wyprowadź wzór na sumę ciągu.
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Wyprowadź wzór na sumę ciągu.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k}\), a te wzory sa juz znane.
Tj. suma pierwszych poteg to \(\displaystyle{ S_1=\frac{n(n+1)}{2}}\), suma kwadratow \(\displaystyle{ S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\).
Tj. suma pierwszych poteg to \(\displaystyle{ S_1=\frac{n(n+1)}{2}}\), suma kwadratow \(\displaystyle{ S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\).
Wyprowadź wzór na sumę ciągu.
Dzięki.
Nie znałem tego wzoru na sume kwadratów :
\(\displaystyle{ S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
A może wiesz jak go wyprowadzić?
Z góry dziękuję.
Nie znałem tego wzoru na sume kwadratów :
\(\displaystyle{ S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
A może wiesz jak go wyprowadzić?
Z góry dziękuję.
-
spajder
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 7 lis 2005, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 133 razy
Wyprowadź wzór na sumę ciągu.
weźmy pod uwagę sumę \(\displaystyle{ s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}\)
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=s_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=1+\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^2=\left\|\begin{array}{c}l=k-1 \\ k=l+1 \end{array}\right\|=1+\sum\limits_{l=1}^{n}(l+1)^2=1+\sum\limits_{l=1}^{n}k^2+2\sum\limits_{l=1}^{n}k+\sum\limits_{k=1}^{n}1=1+S_n+2\sum\limits_{k=1}^{n}k+n}\)
tak wiec:
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=S_n+2\sum\limits_{l=1}^{n}k+n}\)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{l=1}^{n}l=\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n}\)
podobnie rozpisujesz sumę \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{n}k^3}\) i korzystając z tego wzoru wyliczasz sumę \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{n}k^2}\)
niech \(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k^3}\)
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^3=S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=1+\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^3=\left\|\begin{array}{c}l=k-1 \\ k=l+1\end{array}\right\|=1+\sum\limits_{l=1}^{n}(l+1)^3=1+\sum\limits_{l=1}^{n}l^3+3\sum\limits_{l=1}^{n}l^2+3\sum\limits_{l}^{n}l+\sum\limits_{l=1}^{n}1=1+S_n+3\sum\limits_{l=1}^{n}l^2+3\cdot\left( \frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n\right)+n}\)
biorąc pod uwagę dwa skrajne przekształcenia mamy równanie:
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=1+S_n+3\sum\limits_{l=1}^{n}l^2+3\left(\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n\right)+n}\)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{l=1}^{n}l^2=\frac{(n+1)^2-1-3\left(\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n\right)-n}{3}}\)
teraz to tylko trzeba uporządkować
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=s_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=1+\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^2=\left\|\begin{array}{c}l=k-1 \\ k=l+1 \end{array}\right\|=1+\sum\limits_{l=1}^{n}(l+1)^2=1+\sum\limits_{l=1}^{n}k^2+2\sum\limits_{l=1}^{n}k+\sum\limits_{k=1}^{n}1=1+S_n+2\sum\limits_{k=1}^{n}k+n}\)
tak wiec:
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=S_n+2\sum\limits_{l=1}^{n}k+n}\)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{l=1}^{n}l=\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n}\)
podobnie rozpisujesz sumę \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{n}k^3}\) i korzystając z tego wzoru wyliczasz sumę \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{n}k^2}\)
niech \(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k^3}\)
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^3=S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=1+\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^3=\left\|\begin{array}{c}l=k-1 \\ k=l+1\end{array}\right\|=1+\sum\limits_{l=1}^{n}(l+1)^3=1+\sum\limits_{l=1}^{n}l^3+3\sum\limits_{l=1}^{n}l^2+3\sum\limits_{l}^{n}l+\sum\limits_{l=1}^{n}1=1+S_n+3\sum\limits_{l=1}^{n}l^2+3\cdot\left( \frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n\right)+n}\)
biorąc pod uwagę dwa skrajne przekształcenia mamy równanie:
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^2=1+S_n+3\sum\limits_{l=1}^{n}l^2+3\left(\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n\right)+n}\)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{l=1}^{n}l^2=\frac{(n+1)^2-1-3\left(\frac{1}{2}(n+1)^2-\frac{1}{2}n\right)-n}{3}}\)
teraz to tylko trzeba uporządkować
-
bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Wyprowadź wzór na sumę ciągu.
Jako ciekawostkę pokażę taki oto wzór na obliczenie sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych, który dawno temu sobie wymyśliłem
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\lim_{x\to1}\left(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\int_{0}^{x}\left(\sum_{k=1}^{n}k^{2}t^{k-1}\right)\mbox{d}t\right)\right)}\)
Generalnie dosyć dużo jest pisania, więc tak jak napisałem - jako ciekawostka
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\lim_{x\to1}\left(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\int_{0}^{x}\left(\sum_{k=1}^{n}k^{2}t^{k-1}\right)\mbox{d}t\right)\right)}\)
Generalnie dosyć dużo jest pisania, więc tak jak napisałem - jako ciekawostka
Ostatnio zmieniony 19 sty 2007, o 19:48 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Wyprowadź wzór na sumę ciągu.
Dobra zmieńmy na \(\displaystyle{ t}\), już skorygowałem. W każdym razie pierwszym krokiem jest skorzystanie z twierdzenia o całkowaniu szeregów, zapiszę to tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}\left(\sum_{k=1}^{n}k^{2}t^{k-1}\right)\mbox{d}t=\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{0}^{x}k^{2}t^{k-1}\mbox{d}t\right)=\sum_{k=1}^{n}kx^{k}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}\left(\sum_{k=1}^{n}k^{2}t^{k-1}\right)\mbox{d}t=\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{0}^{x}k^{2}t^{k-1}\mbox{d}t\right)=\sum_{k=1}^{n}kx^{k}}\)