Indukcja z nierównością

[grzesi0]

Nie wiem czy pisze to dobrym dziale. Jeśli tak to przepraszam, ale mam jutro spr z matmy i nie bardzo wiem jak sie udowadnia nierówności za pomocą indukcji matematycznej. Byłbym bardzo wdzięczny jeżeli pomógłby mi ktoś

[PFloyd]

Podaj jakieś konkretne przykłady które sprawiają Ci trudność.

[grzesi0]

Chodzi mi o to zeby mi ktoś wyjaśnił słownie jak tworzyć dowód w takiej indukcji

[max]

Ogólnie - musimy wykazać najpierw, że dla konkretnego \(\displaystyle{ n = k, \ k \mathbb{N}}\) nierówność zachodzi.
Następnie zakładamy, że dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ n}\) nierówność jest spełniona i korzystając z tego założenia udowadniamy że dla \(\displaystyle{ n + 1}\) również jest spełniona.
Stąd wynika, że nierówność zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ n q k, n \mathbb{N}}\)

Konkretniej - to już zależy od tego jak wygląda nierówność którą udowadniamy.

[grzesi0]

Napisałeś mi ogólne twierdzenie indukcji więc może zajmijmy sie tym przykladem

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2

[Tristan]

Po pierwsze, zapoznaj się z LaTeX-em ( link u góry strony forum).
Po drugie, chyba coś pomieszałeś - z prawej strony nierówności powinno raczej być \(\displaystyle{ 2 - \frac{1}{n}}\).
Skorzystamy tutaj z faktu, że dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}_{+}}\) zachodzi następująca nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}< \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}}\). Nietrudno sprawdzić, że nierówność ta jest prawdziwa.
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^2} < \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3^2} < \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4^2}< \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \\ ... \\ \frac{1}{(n-1)^2} < \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1} \\ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}}\)
Dodając te nierówności stronami otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + .... + \frac{1}{n^2} < (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3})+... + ( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n-1})+( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n})=\frac{1}{1} - \frac{1}{n}}\)
Jeśli teraz dodamy do obu stron nierówności jedynkę, otrzymamy żądaną nierówność tj.: \(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}}\).

Jeśli zaś mowa o dowodzie indukcyjnym to:
1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ L=\frac{1}{1^2}=1}\) ; \(\displaystyle{ P=2-\frac{1}{1}=1}\)
Widzimy więc, że albo osłabimy nierówność do postaci \(\displaystyle{ \leq}\), bądź zawężymy dziedzinę rozpatrywanyliczb liczb naturalnych do \(\displaystyle{ \mathbb{N} - {0,1}}\).
Bowem dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ L=\frac{1}{1}+ \frac{1}{4}=\frac{5}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ P=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}}\) i \(\displaystyle{ L}\)

[grzesi0]

Po drugie, chyba coś pomieszałeś - z prawej strony nierówności powinno raczej być \(\displaystyle{ 2 - \frac{1}{n}}\).
Skorzystamy tutaj z faktu, że dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}_{+}}\) zachodzi następująca nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}< \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}}\). Nietrudno sprawdzić, że nierówność ta jest prawdziwa.

Masz racje pomieszałem, ale po prawej stronie ma być:
\(\displaystyle{ 2 - \frac{1}{n}}\) ,a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}}\)

i zapomniałem jeszcze dodać ze n ≥ 2

[Tristan]

Proszę, przeczytaj jeszcze raz mojego posta
Ja korzystam w dowodzie z pewnej nierówności określonej własnie w taki sposób.