Siemka, Mam zadaniektorego nie potrafie zrobic, a z dobrych zrodel wiem ze moze byc na kolokwium. Moje ksiazki nie obejmuja tego materialu, zaczynaja sie od liczb zespolonych. Nie wiem jak do tego podejsc moze mi ktos pomorze ?
Zad.
a)Znalesc reszte z dzielenia 321^123 - 546^154 przez 6.
b)Wyznaczyc dwie ostatnie cyfry liczby 38*(199^991 - 51^149)
[gdzie ^ jest to DO POTEGI XXX np 3^56 to liczba 3 podniesiona do 56 potegi]
help?
(2 zadania) Reszta z dzielenia. Wyznaczyć cyfry ...
-
Captain-Nemo
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 29 lis 2004, o 10:43
(2 zadania) Reszta z dzielenia. Wyznaczyć cyfry ...
b)
199 do potęgi nieparzystej daje w wyniku liczbę o dwóch ostatnich cyfrach 99
51 do potęgi nieparzystej daje liczbę o dwóch ostatnich cyfrach 51.
Odejmujemy i mamy 48.
Mnożymy przez 38.
.........48
38 *
----------
.........84
.........4 +
.......
....
----------
.........24
Mam nadzieję, że dobrze.[/b]
199 do potęgi nieparzystej daje w wyniku liczbę o dwóch ostatnich cyfrach 99
51 do potęgi nieparzystej daje liczbę o dwóch ostatnich cyfrach 51.
Odejmujemy i mamy 48.
Mnożymy przez 38.
.........48
38 *
----------
.........84
.........4 +
.......
....
----------
.........24
Mam nadzieję, że dobrze.[/b]
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
(2 zadania) Reszta z dzielenia. Wyznaczyć cyfry ...
a)Znalesc reszte z dzielenia \(\displaystyle{ 321^{123} - 546^{154}}\) przez 6.
Rozpatrujemy reszty poszczególnyc wyrazów.
\(\displaystyle{ (318+3)^{123}:6}\) rozpisz sobie to z dwumianu Newtona ... zauważ, że wszystkie wyrazy poza ostatnim są podzielne przez 6 dlatego tutaj wystarczy rozpatrzyć reszte z dzielenia \(\displaystyle{ 3^{123}}\) Natomiast 546 jest podzielne przez 6 czyli \(\displaystyle{ 546^{154}:6}\) daje reszte 0.
Dlatego resztę z dzielenia tego wyrażenia przez 6 bedzie reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 3^{123}}\) przez 6.
\(\displaystyle{ 3^{123}=9\cdot 3^{121}=(6+3)\cdot 3^{121}=6\cdot 3^{121} +3^{122}}\)
Pierwszy wyraz jest podzielny przez 6 natomiast zajmujemy sie drugim ... Robiąc tak ciagle dojdziemy do równości gdzie będzie już łatwo policzyć restze a będzie nią 3.
Rozpatrujemy reszty poszczególnyc wyrazów.
\(\displaystyle{ (318+3)^{123}:6}\) rozpisz sobie to z dwumianu Newtona ... zauważ, że wszystkie wyrazy poza ostatnim są podzielne przez 6 dlatego tutaj wystarczy rozpatrzyć reszte z dzielenia \(\displaystyle{ 3^{123}}\) Natomiast 546 jest podzielne przez 6 czyli \(\displaystyle{ 546^{154}:6}\) daje reszte 0.
Dlatego resztę z dzielenia tego wyrażenia przez 6 bedzie reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 3^{123}}\) przez 6.
\(\displaystyle{ 3^{123}=9\cdot 3^{121}=(6+3)\cdot 3^{121}=6\cdot 3^{121} +3^{122}}\)
Pierwszy wyraz jest podzielny przez 6 natomiast zajmujemy sie drugim ... Robiąc tak ciagle dojdziemy do równości gdzie będzie już łatwo policzyć restze a będzie nią 3.
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
(2 zadania) Reszta z dzielenia. Wyznaczyć cyfry ...
Nieco inaczej - bez Newtona a)
\(\displaystyle{ 321 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{2} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{8} \equiv 3^{4} \equiv 81 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{16} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{32} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{64} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6)}\)
Po wymnożeniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 321^{123} \equiv 3^{6} \equiv 3^{2} \equiv 3 \ (mod \ 6)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ 546 \equiv 0 \ (mod \ 6) \\ 546^{154} \equiv 0 \ (mod \ 6)}\)
Po odjęciu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 321^{123}-546^{154} \equiv 3-0 \equiv 3 \ (mod \ 6)}\)
\(\displaystyle{ 321 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{2} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{8} \equiv 3^{4} \equiv 81 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{16} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{32} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6) \\ 321^{64} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 3 \ (mod \ 6)}\)
Po wymnożeniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 321^{123} \equiv 3^{6} \equiv 3^{2} \equiv 3 \ (mod \ 6)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ 546 \equiv 0 \ (mod \ 6) \\ 546^{154} \equiv 0 \ (mod \ 6)}\)
Po odjęciu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 321^{123}-546^{154} \equiv 3-0 \equiv 3 \ (mod \ 6)}\)