Rozwiąż równanie wykładnicze

[the moon]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ 5\cdot (\sqrt{2})^{2x+4}-3\cdot 4^{\frac{1}{2}x+1}+8^{3x+1}=16}\)

Po przekształceniach otrzymałem:

\(\displaystyle{ 5\cdot 2^{x+2}-3\cdot 2^{x+2}+2^{9x+3}=16}\)

\(\displaystyle{ 20\cdot 2^{x}-12\cdot 2^{x}+8\cdot 2^{9x}=16}\)

\(\displaystyle{ 8\cdot 2^{x}+8\cdot 2^{9x}-16=0}\)

I jaki będzie następny "krok"?

[liu]

Podzielmy stronami to równanie przez 8, otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2^x+2^{9x}-2=0}\)

\(\displaystyle{ 2^x+(2^{x})^{9}-2=0}\)

Niech 2^x=t.
Dostajemy rownanie \(\displaystyle{ t^9+t-2=0}\)
Widzimy, że pierwiastkiem jest 1, z tw. Bezoute'a wielomian będący lewą stroną równania jest podzielny przez (t-1), po wykonaniu dzielenia dostajemy następujące równanie równoważne:

\(\displaystyle{ (t-1)(t^8+t^7+t^6+t^5+t^4+t^3+t^2+t+2)=0}\)

Nie mam pod ręką Derive'a i nie chce mi sie liczyc tego ręcznie szczerze mówiac dalej, ale jesli są jeszcze jakieś pierwiastki to je wylicz, potem wstawiaj do 2x=t, np. dla jedynki:

\(\displaystyle{ 2^x=1\Longrightarrow x=0}\)

I tak dalej

[Mrrudzin]

Pierwiastkiem jest tylko t=1, gdyż należy również założyć przy rozwiązywaniu równania że t>0 (ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ X \in R \qquad a^x > 0}\) . Widać zatem (z powodu wszystkich dodatnich znaków przy współczynnikach wielomianu) że nie ma on rozwiązań.
Ponadto wielomian \(\displaystyle{ t^8+t^7+t^6+t^5+t^4+t^3+t^2+t+2=0}\) nie ma rozwiązań

[liu]

1. Czemu odpisujesz na watek sprzed 2 lat?
2. \(\displaystyle{ t^8 + t^7 + \ldots + t + 2 = 0}\) to nie jest wielomian, tylko rownanie.
3. Ze zdan poprzednich wynika, ze jakis pierwiastek ma rozwiazania, co jest juz zupelnym belkotem.

[Mrrudzin]

1. Dlatego że ten wątek znajduje się na liście zbioru zadań przyklejonego u góry działu. Jeśli widze błąd / niedociągnięcie - a ktoś traktuje temat jako poprawne rozwiązanie - uważam że warto go poprawić.

Kolega wyżej napisał

Nie mam pod ręką Derive'a i nie chce mi sie liczyc tego ręcznie szczerze mówiac dalej, ale jesli są jeszcze jakieś pierwiastki to je wylicz,

czyli nie rozwiązał zadania do końca.

2. Jest to równanie wielomianowe. Zajrzyj - definicja wielomianu. W tym przypadku przyrównujemy wielomian do zera.

3. Chodzi oczywiście o pierwiastki (rozwiązania) wielomianu. Modny ostatnio "skrót myślowy".

Jeśli przeanalizujesz treść zadania - wszystko powinno się wyjaśnić.

Pozdrawiam

[liu]

Wyobraz sobie, ze znam definicje wielomianu (w sumie jest kilka roznych). Rownanie wielomianowe wielomianem nie jest.

[Mrrudzin]

Ja nie twierdze że jest to wielomian - tylko równanie w którym przyrównujemy wieloman do zera.
"skrót myślowy"