Równanie z dwoma wartościami bezwzględnymi

Martyn1 · Post autor: **Martyn1** » 5 sie 2006, o 17:42

\(\displaystyle{ |x|+|x-3|=3\\x^{2}+(x-3)^{2}=9\\x^{2}+x^{2}-6x+9=9\\2x^{2}-6x=0\\x(2x-6)=0\\x_{1}=0\:x_{2}=3}\)

No niby fajnie tylko, że wynik to nie tylko 0 i 3 ale np. 2 też. Czyli to powinna być nierówność ale dlaczego?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 5 sie 2006, o 18:03

Post został napisany w dobrym dziale i został użyty TeX, tylko tematem było "równanie". Rzeczywiście temat jest krótki, ale można przecież zwrócić na to uwagę, a nie kliknąć, by post wygasł, dlatego pozwoliłem sobie na poprawę tematu i liczę, ktoś odwróci fakt wygaśnięcia tego posta.

Co do samego zadania:
dlaczego tak dziwnie podniosłeś do kwadratu? Gdy masz wyrażenie x+y=6 to przecież podnosząc do kwadratu obustronnie otrzymasz \(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2=36}\) a nie \(\displaystyle{ x^2+y^2=36}\).
W tym zadaniu musisz rozważyć trzy przedziały:
Dla \(\displaystyle{ x ( - ; 0)}\) równanie wygląda tak \(\displaystyle{ -x-(x-3)=3}\), więc -2x=0, czyli x=0, ale to rozwiązanie nie spełnia przedziału, więc na razie brak rozwiązań.
Dla \(\displaystyle{ x )}\) równanie to \(\displaystyle{ x+(x-3)=3}\), zatem 2x=6, czyli x=3 co spełnia przedział.
Zbierając rozwiązania otrzymujemy ostateczną odpowiedź, że rozwiązaniem tego równania są wszystkie "iksy" należące do przedziału \(\displaystyle{ }\).

krzysiek1230 · Post autor: **krzysiek1230** » 21 wrz 2006, o 21:03

Również mam problem z nierównościami z 2 wartościami bezwzględnymi. Kiedy jest 1 to radze sobie bezproblemowo, ale z 2 nie radzę sobie wogóle, ponieważ nie wiem jak dojść do tych 3 możliwośći. Moja nierówność brzmi |x+3|=|2x-5|. Nie chodzi mi o rozwiązanie (chociaż byłoby mile widziane), ale sposób w jaki dochodzi się do tych przedziałów, bo obliczyć potrafię. Z góry dziękuje.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 21 wrz 2006, o 21:17

Twoje równanie jest równoważne takiemu
\(\displaystyle{ |x+3|-|2x-5|=0}\)
1. Znajdujesz miejsca zerowe "pod modułami" i szeregujesz je od najmniejszego do największego(w tym wypadku \(\displaystyle{ -3; \frac{5}{2}}\))
2. Przedziały są następujące:
I: od \(\displaystyle{ -\infty}\) do 1 liczby z szeregu
II: od 1 liczby z szeregu do 2 itd.
Ostatni: od ostatniej liczby z szeregu do \(\displaystyle{ \infty}\)
Wszystkie przedziały poza I są lewostronnie domknięte.

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 21 wrz 2006, o 21:26

zrób sobie:
1) oś liniową z miejscami zerowymi funkcji zawartych w wartości bezwzględnej (miejsca zerowe są argumentami dzięlącymi dziedzinę na przedziały)
2) narysuj sobie mniej jak będzie przebiegała ta funkcja (gdy funkcja liniowa będzie to naprostsze) wtedy będziesz wiedział gdzie funkcja ma wartośc dodatnią, kiedy ujemną, co pomoże Ci także w dalszym rozwiązywaniu funkcji (głównie jeśli chodzi o wiedzę, kiedy muszisz zmienic znak, a kiedy nie)

taki chałupniczy sposób, ale fajnie widac wszystko

krzysiek1230 · Post autor: **krzysiek1230** » 21 wrz 2006, o 21:53

Zastosowałem się do Waszych porad i jakoś zrobiłem, chociaż nie jestem pewien czy dobrze.

x+3=0 2x-5=0
x=-3 x=5/2

Następnie zrobiłem oś i zaznaczyłem przedziały.

→→→→→→→→→→→>
xε(-∞;-3)
xε(-3;5/2)
xε(5/2;∞)

1. -(x+3)+2x+5=0
2. -(x-3)-2x+5=0
3. x+3-2x+5=0

Po napisaniu tego wydaje mi się, że coś jest nie tak. Poszukam jeszcze jakiś rozwiązanych przykładów i porównam.[/i]

Lorek · Post autor: **Lorek** » 21 wrz 2006, o 22:14

W 1. przypadku powinno być 2x-5 zamiast 2x+5
w 2. x+3+2x-5
3. dobrze

hobbis · Post autor: **hobbis** » 10 paź 2006, o 21:40

W której klasie jesteś? Ja się uczyłem że aby rozwiązać równanie należy rozpatrzyć dwa przypadki. Czyli gdy moduł przyjmuje wartośc ↑x↑≥0 a drugie równanie gdy moduł przyjmuje wartość ↑x↑

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 paź 2006, o 21:43

2 przypadki to możesz rozpatrywać, gdy masz 1 moduł
a poza tym
\(\displaystyle{ |x|\geq 0}\) to jest tożsamość
\(\displaystyle{ |x|}\)

hobbis · Post autor: **hobbis** » 10 paź 2006, o 21:47

można też tym sposobem rozwiązać równanie z jednym modułem?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 paź 2006, o 21:53

Ovczywiście, że można. To jest to samo, co rozpatrywanie przypadków, kiedy wyrażenie pod modułem jest ujemne, a kiedy nie.

hobbis · Post autor: **hobbis** » 10 paź 2006, o 22:06

Adams pisze: \(\displaystyle{ |x|}\)

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 10 paź 2006, o 22:08

wynika to z definicji wartości bezwzględnej - moduł z liczby jest zawsze nieujemny

to wyrażenie pod modułem ma byc porównywane względem zera

SSJ · Post autor: **SSJ** » 19 paź 2006, o 21:30

Witam, jestem tu nowy. Przeczytalem ten topic, ale dalej nie rozumiem tego.
Mam taki przykład:
|5+x|-3|3-2x|-2x+1
Wiem, że przedziały mają być takie:
(-nieskończoność,-5)

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 19 paź 2006, o 21:34

w przedziale: \(\displaystyle{ (-\infty;-5)}\)
dla tego przedziału
|5+x|=-(x+5)
|3-2x|=3-2x
i normalnie rozwiązujesz, tylko robisz potem iloczyn otrzymanego przedziału i \(\displaystyle{ (-\infty;-5)}\)

analogicznie pozostałe dwa przypadki