układ równań dyskusja o istnieniu i ilości rozwiązań

[mat1989]

Przeprowadź dyskusję istnienia i ilości rozwiązań układów równań w zależności od wartośi parametru:
a)\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x+y=a\\mx+12y=0\end{array}\right.}\)


b)\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}2x+ay=1\\3x+2y=b\end{array}\right.}\)

[Tomasz Rużycki]

Znasz wzory Cramera?

[mat1989]

nie znam niestety tych wzorów.
a bez nich nie da się tego rozwiązać??

[Tristan]

Znasz je, znasz . Pamiętasz wyznaczniki? A no właśnie
Więc liczysz tutaj wyznacznik główny ( podaję wyniki do przykładu b) ), który wynosi 4-3a. Wyznacznik iksowy to 2-ab, oraz igrekowy to 2b-3. I teraz przeprowadzasz dyskusję na podstawie schematu:
1. Jeżeli \(\displaystyle{ W 0}\), to rozwiązaniem układu jest para liczb: \(\displaystyle{ x= \frac{W_{x}}{W},y=\frac{W_{y}}{W}}\). Taki układ nazywamy układem oznaczonym lub układem równań niezależnych.
2. Jeżeli \(\displaystyle{ W=0}\) i \(\displaystyle{ W_{x}=0}\) i \(\displaystyle{ W_{y}=0}\) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań: rozwiązaniem układu jest każda para liczb (x,y) spełniająca dowolne równanie danego układu. Taki układ nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.
3. Jeżeli \(\displaystyle{ W=0}\) i co najmniej jeden z wyznaczników \(\displaystyle{ W_{x}, W_{y}}\) jest różny od zera, to układ nie ma rozwiązań. Taki układ nazywamy układem sprzecznym.

[mat1989]

no ok ale kiedy \(\displaystyle{ W\neq0}\)?? trzeba z W podstawić 4-3a czyli układ jest oznaczony gdy \(\displaystyle{ 4-3a\neq0}\) i z tego wyznaczyć ile nie może sie równać a??

[Tristan]

Rozważmy przypadek pierwszy:
Układ jest oznaczony wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik główny jest różny od zera, czyli \(\displaystyle{ 4-3a 0}\) z czego mamy, że \(\displaystyle{ a \frac{4}{3}}\). Czyli dla \(\displaystyle{ a \frac{4}{3}}\) układ jest oznaczony i rozwiązaniem układu jest jedna para liczb: \(\displaystyle{ x= \frac{2-ab}{4-3a},y=\frac{2b-3}{4-3a}}\).

[mat1989]

ale co zrobić w drugim przypadku jak \(\displaystyle{ a=\frac{4}{3}}\)?

[ Dodano: Wto Mar 07, 2006 9:34 pm ]
raczej inaczej się zapytam:D jakie należy jeszcze rozważyć przypadki oprócz tego wyżej wymienionego?

[Tristan]

No to rozważmy drugi przypadek:
Musi być spełniona koniunkcja warunków: \(\displaystyle{ W=0 W_{x}=0 W_{y}=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=\frac{4}{3} 2=ab b=\frac{3}{2}}\) i widzimy, że jeszcze do drugiego równania podstawimy a i b, to wszystko będzie się zgadzało, czyli odpowiedź dla tego przypadku brzmi:
Dla \(\displaystyle{ a=\frac{4}{3}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{3}{2}}\) nasz układ spełnia każda para liczb (x,y) i jest to układ nieoznaczony.

[mat1989]

a 3 jest jeszcze?
np.\(\displaystyle{ a=\frac{4}{3}\wedge b\neq1,5}\)
albo.\(\displaystyle{ a\neq\frac{4}{3}\wedge b=1,5}\)
takie przypadki też mogą być??

[Tristan]

Skoro wyznacznik główny, w trzecim przypadku, musi być zerem, to \(\displaystyle{ a=\frac{4}{3}}\) i nie może być różny od zera . Dlatego jedyna odpowiedź to: układ jest sprzeczny dla \(\displaystyle{ a= \frac{4}{3} b \frac{3}{2}}\).

[mat1989]

ok. dzieki za wszystko