Jest to zadanie z tego forum z dzialu zadania maturalne. Lecz ten dzial jakby podumarl a nie moge zrobic jednego zadania z tamtad:
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + sin3x + ... + sin(nx)=\frac{sin(\frac{nx}{2})sin(\frac{(n+1)x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}}\)
Nalezy udowodnic to rownanie dla n naturalnych. probowalem zmieniac lewa strone ale nie moglem dojsc do tego co jest z prawej. Probowalem tez z indukcji ale nie poradzilem sobie z dowodem.
udowodnij równanie
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
udowodnij równanie
Tak...
1. Sprawdzamy prawdziwośc wzoru dla n=1 ( przy założeniu \(\displaystyle{ x 2k \pi}\) i \(\displaystyle{ k C}\) ):
\(\displaystyle{ L=\sin x}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{\sin \frac{x}{2} \sin x}{\sin \frac{x}{2} }=\sin x}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
2. Zakładamy , że wzór jest prawdzimy dla \(\displaystyle{ n=k}\) (\(\displaystyle{ k q 1}\)) :
\(\displaystyle{ Z: \sin x + \sin 2x + ... + \sin kx= \frac{ \sin \frac{kx}{2} \sin \frac{(k+1)x}{2} }{\sin \frac{x}{2} }}\)
3. Uzasadniamy prawdziwość wzoru dla n=k+1:
T: \(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + ... + \sin kx + \sin (k+1)x= \frac{ \sin \frac{(k+1)x }{2} \sin \frac{ (k+2)x}{2} }{ \sin \frac{x}{2}}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \large L=\sin x + \sin 2x + ... + \sin kx + \sin (k+1)x= \\ \frac{ \sin \frac{kx}{2} \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} + \sin (k+1)x= \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2} } ( \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{(k+1)x}{2} )}\)
\(\displaystyle{ \large P=\frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2} \sin \frac{(k+2)x}{2} }{ \sin \frac{x}{2}}=\frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} ( \sin \frac{kx}{2} \cos x + \sin x \cos \frac{ kx}{2}) \\ = \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} ( \sin \frac{kx}{2} (1-2 \sin \frac{2x}{2}) + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \ cos \frac{kx}{2}) =\\ \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} ( \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} ( \cos \frac{kx}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{ kx}{2} \sin \frac{x}{2} ) = \\ \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2} } ( \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{(k+1)x}{2} )}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
1. Sprawdzamy prawdziwośc wzoru dla n=1 ( przy założeniu \(\displaystyle{ x 2k \pi}\) i \(\displaystyle{ k C}\) ):
\(\displaystyle{ L=\sin x}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{\sin \frac{x}{2} \sin x}{\sin \frac{x}{2} }=\sin x}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
2. Zakładamy , że wzór jest prawdzimy dla \(\displaystyle{ n=k}\) (\(\displaystyle{ k q 1}\)) :
\(\displaystyle{ Z: \sin x + \sin 2x + ... + \sin kx= \frac{ \sin \frac{kx}{2} \sin \frac{(k+1)x}{2} }{\sin \frac{x}{2} }}\)
3. Uzasadniamy prawdziwość wzoru dla n=k+1:
T: \(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + ... + \sin kx + \sin (k+1)x= \frac{ \sin \frac{(k+1)x }{2} \sin \frac{ (k+2)x}{2} }{ \sin \frac{x}{2}}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \large L=\sin x + \sin 2x + ... + \sin kx + \sin (k+1)x= \\ \frac{ \sin \frac{kx}{2} \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} + \sin (k+1)x= \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2} } ( \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{(k+1)x}{2} )}\)
\(\displaystyle{ \large P=\frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2} \sin \frac{(k+2)x}{2} }{ \sin \frac{x}{2}}=\frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} ( \sin \frac{kx}{2} \cos x + \sin x \cos \frac{ kx}{2}) \\ = \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} ( \sin \frac{kx}{2} (1-2 \sin \frac{2x}{2}) + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \ cos \frac{kx}{2}) =\\ \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2}} ( \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} ( \cos \frac{kx}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{ kx}{2} \sin \frac{x}{2} ) = \\ \frac{ \sin \frac{(k+1)x}{2}}{ \sin \frac{x}{2} } ( \sin \frac{kx}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{(k+1)x}{2} )}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
-
amdrozd
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 5 sty 2005, o 17:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Muszyna [FM]
- Pomógł: 2 razy
udowodnij równanie
mamy:
\(\displaystyle{ \sin(x)+\ldots+\sin(nx)}\) pomnóżmy to przez:
\(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2}) \quad x\neq 2k\pi \quad k\in Z}\) mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \sin(x)\sin(\frac{x}{2})+\sin(2x)\sin(\frac{x}{2})+\ldots+\sin(nx)\sin(\frac{x}{2})}\)
wykorzystując wzór na:
\(\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( \cos(\frac{x}{2})-\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{3x}{2})- \cos(\frac{5x}{2}) +\ldots+\cos(\frac{(2n-1)x}{2})-\cos(\frac{(2n+1)x}{2}) )}\) co daje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\cos (\frac{x}{2}) -\cos(\frac{(2n+1)x}{2}) )}\)
a to można ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos(a)-\cos(b) =- 2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ -\sin(\frac{(n+1)x}{2})\sin(-\frac{nx}{2})=\sin(\frac{(n+1)x}{2})\sin(\frac{nx}{2})}\)
co daje nam w ostateczności:
\(\displaystyle{ \sin(x)+\sin(2x)+\ldots+\sin(nx)=\frac{\sin(\frac{(n+1)x}{2})\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}}\)
Można też wyprowadzić z liczb zespolonych i wzoru de Moivre'a.
\(\displaystyle{ \sin(x)+\ldots+\sin(nx)}\) pomnóżmy to przez:
\(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2}) \quad x\neq 2k\pi \quad k\in Z}\) mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \sin(x)\sin(\frac{x}{2})+\sin(2x)\sin(\frac{x}{2})+\ldots+\sin(nx)\sin(\frac{x}{2})}\)
wykorzystując wzór na:
\(\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( \cos(\frac{x}{2})-\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{3x}{2})- \cos(\frac{5x}{2}) +\ldots+\cos(\frac{(2n-1)x}{2})-\cos(\frac{(2n+1)x}{2}) )}\) co daje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\cos (\frac{x}{2}) -\cos(\frac{(2n+1)x}{2}) )}\)
a to można ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos(a)-\cos(b) =- 2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}\)
\(\displaystyle{ -\sin(\frac{(n+1)x}{2})\sin(-\frac{nx}{2})=\sin(\frac{(n+1)x}{2})\sin(\frac{nx}{2})}\)
co daje nam w ostateczności:
\(\displaystyle{ \sin(x)+\sin(2x)+\ldots+\sin(nx)=\frac{\sin(\frac{(n+1)x}{2})\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}}\)
Można też wyprowadzić z liczb zespolonych i wzoru de Moivre'a.