Pokazac,ze..

[marekz]

1.Pokazać,ze \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczba niewymierna.
2.Pokazac,ze suma dwoch liczb wymiernych jest liczba wymierna.
3.Pokazac, ze suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczba niewymierna.
4.Czy suma dwoch liczb niewymiernych jest liczba niewymierna?
5.Czy iloczyn dwoch liczb NW jest liczba wymierna?
6.Czy iloczyn liczb wymiernych i niewymiernych jest liczba wymierna?

[Calasilyar]

1.
przypuścmy, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest wymierna; wtedy (zakładając p,q€C (p,q)=1):
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}\\
2=\frac{p^{3}}{q^{3}}\\
p^{3}=2q^{3}}\)
wynika z tego, że p jest parzystą liczbą -> załóżmy, że p=2k
\(\displaystyle{ 8k^{3}=2q^{3}\\
4k^{3}=q^{3}}\)
z tego wynika, że q również jest parzyste, a przeciez p i q miały byc względnie pierwsze. I tu jest sprzecznosc, c.b.d.u.

2.
\(\displaystyle{ p+q=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}}\)
3.
\(\displaystyle{ \sqrt\in IW\\
\frac{a}{b}+\sqrt{n}=\frac{a+b\sqrt{n}}{b}}\), co tez jest niewymierne
4.
zależy:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\) jest niewymierne, ale już:
\(\displaystyle{ (3+\sqrt{2})+(5-\sqrt{2})=8}\)
5.
zależy:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}}\), która to liczba jest niewymierna, ale już:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3}\)
6.
nie, jest tylko wymierną wielokrotnością l. niewymiernej
\(\displaystyle{ 4\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}}\)

[juzef]

3. Źle
6. Jest liczbą niewymierną, chyba że wymierna jest zerem. (Oczywiście przy założeniu, że mnożymy jedną liczbę niewymierną. Jeśli jest ich więcej, to nic nie można powiedzieć.)

[enki]

3. Źle

A jak jest dobrze>?

[juzef]

Różnica dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Zastanów się jak z tego skorzystać.