Przebieg zmienności funkcji.

[Arek]

Przebieg zmienności funkcji

Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale Arek

Problem powyżej to klasyczna zmora wielu licealistów. Pomyślałem, że przyda się. Na początek kilka założeń:

- f(x) jest określona w
- f(x) jest ciągła w (a,b)
- limx->(a+)f(x)=f(a)
- limx->(b-)f(x)=f(b)
- f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w (a,b)

takie niby nic, i w większości przykładów te założenia są z góry spełnione, ALE... - specyfika metody.

Zatem zagadnienie:


ZNALEŹĆ NAJWIĘKSZĄ I NAJMNIEJSZĄ WARTOŚĆ F(X) OD a DO b

KROK 1

Obliczamy f(a) i f(b).

Komentarz: Szukane wartości, to mogą być jedne z nich. Będą z nimi, jeżeli wewnątrz badanego przedziału funkcja nie ma ekstremów.

KROK 2

Wyznaczamy f'(x) i rozwiązujemy równanie: f'(x)=0.

Komentarz: są teraz dwie opcje, równanie ma rozwiązania lub nie. Jeżeli nie ma, CÓŻ - największa i najmniejsza wartość funkcji są wśrod liczb f(a), f(b). Jak wiemy, istnienie rozwiązań równania f'(x)=0 jest warunkiem istnienia ekstremów lokalnych f(x). Jeżeli ich nie ma, to funkcja na przedziale jest albo niemalejąca albo nierosnąca (sprawdźcie to !!!). Zatem problem tkwi w możliwości, że rozwiązania są!!! Wówczas nasze rozwiązania to pewien ciąg (o ile pochodna nie ma postaci f'(x)=0) xi - skończony lub nieskończony...

KROK 3 - przy założeniu, że f'(x) ma rozwiązania

Liczymy drugą pochodną f"(x) i obliczamy wartości f"(xi).

Komentarz: i znowu dwie opcje. Ale tym razem po dwie opcje dla każdego z wyrazów ciągu xi. Otóż jeżeli dla danego wyrazu ciągu xi, f"(xi)=0, to ta liczba przestaje nas interesować. Jednak jeżeli nie ma równości f"(xi)=0, to dana liczba interesuje nas bardzo. Załózmy zatem, że pewne wyrazy ciągu xi nie spełniają tej równości. Tworzą one (znów skończony lub nie...) ciąg yi...

KROK 4 - przy założeniu, że istnieją elementy ciągu yi

Obliczamy wartości: f(yi).

Szukana maksymalna wartość funkcji f(x) na przedziale , to:
max{f(a), f(b), f(yi)}

Szukana minimalna wartość funkcji f(x) na przedziale , to:
min{f(a), f(b), f(yi)}



Wiem, że to wygląda nieco skomplikowanie, ale postaram się (jak znajdę czas) dać przykład lub dwa!!

[W_Zygmunt]

GRAFICZNE WYZNACZANIE FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Składanie funkcji patrz:
... a/funkcje/

Aby narysować wykres funkcji złożonej, której funkcje składowe potrafimy wykreślić, konstruujemy
trzy układy współrzędnych A, B, C (i jeden pomocniczy D).
Układ A jest obrócony o \(\displaystyle{ 90^o}\).
W układzie A wykreślamy funkcję y=f(x), w B - funkcję z=g(y).
Wybieramy wartość x1 na osi OX. Prowadząc prostą poziomą znajujemy punkt w układzie D,
następnie łukiem, punkt na osi prostopadłej. Pionowo do góry przenosimy wartość x1
na oś OX ukłdu C. Teraz szukamy watości y1 odpowiadającej x1( w układzie A).
Wartość tę przenosimy pionowo do góry i szukamy przecięcia z wykresem funkcji g
(układ B). Znajdujemy z1=g(y1). Kreśląc prostą poziomą, do przecięcia z prostą pionową wartości x1
(którą wyznaczyliśmy wcześniej ), znadujemy wartośc naszej funkcji z1=g(f(x1)).
Postępując tak z wieloma argumentami, możemy wyznaczyć dowolną ilość punktów.

W podobny sposób można wykreślić złożenie trzech funkcji y=h(g(f(x))).
Trzeba tylko jeden wykres narysować odbity symetrycznie i odrócony o \(\displaystyle{ 90^o}\).