Witam.. mam problem z ponizsza indukcja... jesli ktos moze to niech pomoze z góy dziekuje
\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + ... + \sin nx \,=\,\frac{\sin\frac{n + 1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\sin\frac{nx}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq2k\pi}\)
indukcja i sinusy :(
-
baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
indukcja i sinusy :(
1. sprawdzenie dla
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ L=sinx}\) ,\(\displaystyle{ P=sinx}\) więc \(\displaystyle{ L=P}\)
2.
\(\displaystyle{ \bigwedge_{k \in \NN_+ \land k \geq 1} [sinx + sin2x + ... + \sin kx=\frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} \Rightarrow sinx + sin2x + ... + \sin(k+1)x =\frac{\sin\frac{(k+2)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}} *\sin\frac{(k+1)x}{2}]}\)
Z założenia mamy:
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + ... + \sin kx=\frac{\sin\frac{(k+1)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2}}\), więc:
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + ... + sinkx + \sin(k+1)x = \frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} + \sin(k+1)x =}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} + \sin(2*\frac{(k+1)x}{2})=}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} + 2\sin\frac{(k+1)x}{2}*\cos\frac{(k+1)x}{2}=}\)
\(\displaystyle{ = \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + 2\cos\frac{(k+1)x}{2}) = \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2} + 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}})}\)
Widzimy tutaj wzór na różnicę sinusów \(\displaystyle{ 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}\)
Więc rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha -\beta=\frac{x}{2}\\\alpha+\beta=(k+1)x\end{array}\right.}\)
Wychodzi: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{(k+2)x}{2} \beta=\frac{kx}{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}=\sin\frac{(k+2)x}{2} - \sin\frac{kx}{2}}\)
Podstawiając dalej do naszego dowodu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2} + 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}})= \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2} +\sin\frac{(k+2)x}{2} - \sin\frac{kx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}) = \sin(\frac{(k+1)x}{2}*\frac{\sin\frac{(k+2)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}}\)
Na podstawie indukcji matematycznej...
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ L=sinx}\) ,\(\displaystyle{ P=sinx}\) więc \(\displaystyle{ L=P}\)
2.
\(\displaystyle{ \bigwedge_{k \in \NN_+ \land k \geq 1} [sinx + sin2x + ... + \sin kx=\frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} \Rightarrow sinx + sin2x + ... + \sin(k+1)x =\frac{\sin\frac{(k+2)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}} *\sin\frac{(k+1)x}{2}]}\)
Z założenia mamy:
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + ... + \sin kx=\frac{\sin\frac{(k+1)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2}}\), więc:
\(\displaystyle{ sinx + sin2x + ... + sinkx + \sin(k+1)x = \frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} + \sin(k+1)x =}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} + \sin(2*\frac{(k+1)x}{2})=}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{k+1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}*\sin\frac{kx}{2} + 2\sin\frac{(k+1)x}{2}*\cos\frac{(k+1)x}{2}=}\)
\(\displaystyle{ = \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + 2\cos\frac{(k+1)x}{2}) = \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2} + 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}})}\)
Widzimy tutaj wzór na różnicę sinusów \(\displaystyle{ 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}\)
Więc rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha -\beta=\frac{x}{2}\\\alpha+\beta=(k+1)x\end{array}\right.}\)
Wychodzi: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{(k+2)x}{2} \beta=\frac{kx}{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}=\sin\frac{(k+2)x}{2} - \sin\frac{kx}{2}}\)
Podstawiając dalej do naszego dowodu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2} + 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}})= \sin\frac{(k+1)x}{2}*(\frac{\sin\frac{kx}{2} +\sin\frac{(k+2)x}{2} - \sin\frac{kx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}) = \sin(\frac{(k+1)x}{2}*\frac{\sin\frac{(k+2)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}}\)
Na podstawie indukcji matematycznej...
-
mrejmicz
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 12:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piotrków tryb.
indukcja i sinusy :(
Widzimy tutaj wzór na różnicę sinusów \(\displaystyle{ 2sin\frac{x}{2}*cos\frac{(k+1)x}{2}}\)
Więc rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha -\beta=\frac{x}{2}\\\alpha+\beta=(k+1)x\end{array}\right.}\)
mógłby ktoś wytłumaczyć skąd wziął się ten fragment? z góry dziękuję
Więc rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha -\beta=\frac{x}{2}\\\alpha+\beta=(k+1)x\end{array}\right.}\)
mógłby ktoś wytłumaczyć skąd wziął się ten fragment? z góry dziękuję