arek1357 pisze: ↑1 lut 2024, o 16:57
Tak ale skoro na ixach nam za bardzo nie zależy dobieramy se takie ixy aby:
\(\displaystyle{ \sin (nx) }\)
oraz:
\(\displaystyle{ \cos (nx)}\)
Były wybitnie dodatnie a wtedy zbieżność być musi...
Nawet najsilniejsza wiara nie zmieni faktu, że dla `x` niewspółmiernych z `\pi` zbiory
\(\displaystyle{ \{\sin nx: n\in\NN\}}\) oraz
\(\displaystyle{ \{\cos nx: n\in\NN\}}\) są gęste w `[-1,1]`, więc dodatniości być nie może.
A dla `x` współmiernych z `\pi` każdy z tych zbiorów jest dyskretny i zawiera zarówno dodatnie jak i ujemne wyrazy (za wyjątkiem przypadku `x=2k\pi`).
arek1357 pisze:Zresztą jest to szereg geometryczny gdzie moduł ilorazu przy doborze odpowiedniego x będzie mniejszy od jeden i sprawa pozamiatana, tu nie ma o czy gdybać...
Napisać można wszystko. Ale z myślenia nic nie zwalnia
Wzorek
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{ixn}}{n} =-\ln(1-e^{ix})}\) jest fajny (choć nie dla wszystkich `x` - ale przywyczaiłeś nas do tego, że jeżeli założenia nie sa spełnione, to tym gorzej dla założeń), ale po zróżniczkowaniu wyraz po wyrazie po lewej stronie dostaniesz szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } e^{ixn}}\), który jest szeregiem geometrycznym ale zbieżny nie jest, bo nie jest spełniony warunek KONIECZNY zbieżności szeregów.
\(\displaystyle{ \lvert e^{ixn} \rvert=\lvert \cos nx+i\sin nx\rvert=1}\)